1. Planteamiento de la Ecuación: Sustituyendo valores, obtenemos la función $Y(s)$ (Voltaje del capacitor) ante una entrada escalón de 5V:
$$ Y(s) = \frac{ 500000.0 }{ s(s^2 + 100.00s + 100000.0) } $$
2. Fracciones Parciales: Descomponemos en factores lineales y cuadráticos irreducibles:
$$ \frac{ 500000.0 }{ s(s^2 + 100.00s + 100000.0) } = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 + 100.00s + 100000.0} $$
Multiplicamos todo por el denominador común:
$$ 500000.0 = A(s^2 + 100.00s + 100000.0) + (Bs + C)(s) $$
3. Encontrando las constantes (Álgebra):
Si $s = 0$:
$$ 500000.0 = A(0^2 + 100.00(0) + 100000.0) + (B(0) + C)(0) $$$$ 500000.0 = 100000.0A \quad \implies \quad A = \frac{ 500000.0 }{ 100000.0 } \quad \implies \quad A = 5.00 $$
Igualando coeficientes de $s^2$:
$$ 0 = A + B \quad \implies \quad B = -A \quad \implies \quad B = -5.00 $$
Igualando coeficientes de $s$:
$$ 0 = 100.00A + C \quad \implies \quad C = -100.00A \quad \implies \quad C = -100.00(5.00) \quad \implies \quad C = -500.00 $$
4. Solución en $\mathcal{L}$: Sustituimos $A, B$ y $C$ en la ecuación original:
$$ Y(s) = \frac{ 5.00 }{s} + \frac{ -5.00s -500.00 }{s^2 + 100.00s + 100000.0} $$
5. Antitransformada $\mathcal{L}^{-1}$: Al completar el cuadrado y usar fórmulas de tablas (senos, cosenos o exponenciales), obtenemos:
$$ \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} \implies y(t) = 5.00 -5.00e^{-50.00t}\cos(312.25t) -500.00e^{-50.00t}\sin(312.25t) $$